L’equazione di Dirac, il simbolo degli inguaribili romantici

Alzi la mano chi ha sentito parlare del paragone di Dirac almeno una volta nella vita. La maggior parte di coloro che stanno leggendo ora sono stati sicuramente sollevati a mano e hanno cercato di ricordare dove e in quali circostanze hanno incontrato questo confronto. E se ti dicessimo invece del paragone di Dirac “confronto d’amore“? Riesci a pensare a qualcosa di più nitido?

Il confronto di Dirac come poesia romantica

Molti di voi conoscono l’equazione di Dirac come confronto d’amore, e quindi come la più romantica delle equazioni della fisica. Fidanzate e amanti rimangono affascinate da questo confronto, che alla fine viene tatuato sugli avambracci e sui polsi, a testimonianza del legame insolubile tra i due Romeo e Giulietta.

Confronto d’amore impresso sul braccio di un giovane amante

Come si può vedere dal tatuaggio, l’equazione è riportata come $$ ( partial + m) psi = 0. $$ L’interpretazione romantica deriva da questa definizione di sistemi fisici “aggrovigliati”:

Se due sistemi interagiscono tra loro per un certo periodo di tempo e poi si separano l’uno dall’altro, non possiamo più descriverli come due sistemi diversi, ma in qualche modo diventare sottilmente un sistema.

Quello che succede a uno di loro influisce ancora sull’altro, anche se distano anni luce.

È chiaro che la definizione di entanglement quantistico si presta facilmente alle interpretazioni più shakespeariane e morbide. Se associamo questo concetto all’equazione di Dirac e affermiamo che esprime lo stesso concetto, come nelle migliori fiabe, una fredda equazione fisico-matematica può diventare un potente simbolo d’amore. Ma è un peccato che non sia così.

La teoria della relatività speciale: punto di partenza dell’equazione di Dirac

Per capire perché l’equazione di Dirac non ha nulla a che fare con la passione di due amanti, è necessario comprenderne il significato più profondo e per quanto possibile l’inferenza matematica.

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Nel 1905 Albert Einstein formulò la teoria della relatività speciale. Come molti di voi sanno bene, descrive la cinematica e la dinamica di corpi massicci che si muovono a velocità prossime alla luce. In poche parole è uno generalizzazione della fisica newtoniana, con la modifica del cosiddetto invasori fisici, ovvero le quantità che rimangono, anche quando cambia il sistema di riferimento da cui si visualizza.

Il grande fisico tedesco Albert Einstein

Einstein ha mostrato che, nella relatività ristretta, ilinvariante relativistico dinamico coinvolge l’energia cinetica e quantità di moto secondo il rapporto $$ E ^ 2 – p ^ 2 c ^ 2 = m ^ 2 c ^ 4, $$ dove (E ) rappresenta l’energia cinetica, (p ) la quantità di moto, (m ) la massa dell’oggetto e (c ) la velocità della luce. L’equazione afferma che, energia fissa e quantità di moto di un oggetto, le masse sono obbligate a rispettare la suddetta legge.

Quantizzazione ed equazione di Little Gordon

L’equazione di Little Gordon rappresenta il primo tentativo di fondere la meccanica quantistica e la relatività speciale. In base alla relazione di invarianza relativistica, impostiamo la costante di Planck normalizzata ( non h ) e la funzione d’onda ( psi ), che descrivono lo stato quantistico di una particella elementare. Il modulo quadrato di ( psi ) non è altro che la funzione di densità di probabilità, che ci dice qual è la probabilità che una particella si trovi in ​​una certa regione spazio-temporale.

Se riscriviamo energia e quantità di moto secondo complesse operazioni matematiche, che qui omettiamo, arriviamo all’equazione di Little Gordon $$ ( partial_ mu partial ^ mu – dfrac {m ^ 2 c ^ 2} { nie h ^ 2}) psi = 0. $$ Il problema era che le soluzioni a questa equazione potevano portare a probabilità negative., che dal punto di vista matematico non ha senso, poiché la probabilità è una misura compresa tra 0 e 1.

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L’equazione di Dirac

Nel 1928, il fisico Paul Dirac decide di superare i limiti dell’equazione di Little Gordon e ha scritto una legge che delinea i principi matematici di calcolo delle probabilità. Con una linea geniale, ha definito un’espressione lineare per l’energia senza estrarre la radice quadrata dalla formula relativistica dell’immutabilità: $$ E = alpha pc + mc ^ 2 beta $$ dove ( alpha ) e ( beta ) sono array definiti correttamente (4 volte 4 ). La quantificazione di questa espressione lineare, dopo complesse manipolazioni matematiche, viene dall’equazione $$ (i gamma ^ mu dfrac { partial} { partial x ^ mu} – m) psi = 0, $$ dove ( mu = 0,1,2,3 ) rappresenta l’indice per muoversi nelle quattro dimensioni dello spazio-tempo. Per renderlo più compatto, di solito impostiamo ( not partial = gamma ^ mu dfrac { partial} { partial x ^ mu} ), arriviamo all’equazione di Dirac come la conosciamo oggi, ovvero: $$ (i not partial – m) psi = 0. $$

Il vero significato dell’equazione di Dirac

Come indica la dimensione degli array ( alpha ) e ( beta ), L’equazione di Dirac è in realtà un sistema di quattro equazioni, cioè, la funzione d’onda ( psi (x, t) ) è un vettore quadridimensionale. Da un punto di vista puramente matematico, l’equazione di Dirac è un’equazione differenziale per derivate parziali, con funzione d’onda sconosciuta. Se ci spostiamo piuttosto nel mondo della fisica, dove questa equazione vive effettivamente, possiamo dirlo descrive il movimento dei fermioni in un modo relativisticamente immutabile. Queste ultime sono particelle con spin semi-intero, come elettroni, protoni e quark.

L’equazione di Dirac risolve quindi il problema delle probabilità negative, ma continua a consentire soluzioni energetiche negative. Dirac stesso non aveva una spiegazione fisica esatta del motivo per cui ciò fosse accaduto, e presuppone l’esistenza di un mare di buchi di energia negativa formati spostando i fermioni in uno stato eccitato. Infatti questa affermazione fu respinta dalla comunità scientifica, e finalmente il paradosso dell’energia negativa fu spiegato qualche anno dopo, con la scoperta del positrone.

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Perché il matrimonio d’amore è solo un’invenzione romantica

Come avrai notato, l’equazione dell’amore e l’equazione di Dirac sono molto diverse. In quest’ultimo, la derivata viene tagliata, viene moltiplicata per l’unità immaginaria e la massa ha un segno meno. A peggiorare le cose, L’equazione di Dirac descrive il moto di una particella liberacioè, non varia con i campi esterni (come i campi magnetici o gravitazionali) o con altre particelle. In poche parole, L’equazione di Dirac ci racconta la storia delle particelle solitarie e isolate, ma ardenti amanti!

Proprio per questo motivo l’equazione di Dirac non ha nulla a che fare con il concetto di entanglement quantistico: è associato alle proprietà matematiche degli spazi di Hilbert, cioè degli oggetti misteriosi in cui vivono e prendono forma gli stati quantistici di due particelle. E se ancora non sei convinto, pensaci questo fenomeno “intrecciato” si verifica solo a livello microscopico, cioè quando ha senso introdurre la quantizzazione.

Quindi, inguaribili romantici, non fatevi tatuare il paragone di Dirac, perché se lo fate, è come se diceste alla vostra dolce metà che volete continuare il viaggio … da soli!

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